Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值.

Answer 1

（1）∠ABD=30°-α；（2）△ABE是等边三角形；证明见解析；（3）30°．

【解析】（1）∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，

∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°-α；

（2）△ABE是等边三角形，

连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，

∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，

在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°-（30°-α）-150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°，∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°-150°）=15°，∵∠EBC=30°-α=15°，∴α=30°．