Question

【题目】如图，在△ABC中，以点AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD=CD．

（1）求证：∠B＝∠C ．

（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB．若AB=5，CD=，求AH的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质可得结论；

（2）根据题意可知OD是△ABC的中位线，即OD∥AC，故DF⊥AC，根据圆周角定理AD⊥BC，可知△DCF∽△ACD，进而可求得CF=1，DF=2，AF=4， 过点D作DM⊥AB，可知∠CFD＝∠BMD＝90°,可推出△CDF≌△BDM，即可得CF=BM=1，OM=，

又根据△AFH∽△ODM，可得，，

（1）证明：连结AD.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°,

∴AD⊥BC，

∵BD=CD

∴AC=AB

∴∠B＝∠C.

（2）∵AO=BO，BD=CD

∴OD是△ABC的中位线

∴OD∥AC

∵DF⊥OD

∴DF⊥AC，

∵AD⊥BC

∴△DCF∽△ACD

∵AC=AB=5，CD=，

∴CF=1，DF=2

∴AF=4，

过点D作DM⊥AB

∴∠CFD＝∠BMD＝90°,

∴△CDF≌△BDM

∴CF=BM=1，OM=，

又∵△AFH∽△ODM，

∴，，.