【题目】如图,射线AM平行于射线BN,∠B=90°,AB=4,C是射线BN上的一个动点,连接AC,作CD⊥AC,且AC=2CD,过C作CE⊥BN交AD于点E,设BC长为a.
(1)求△ACD的面积(用含a的代数式表示);
(2)求点D到射线BN的距离(用含有a的代数式表示);
(3)是否存在点C,使△ACE是以AE为腰的等腰三角形?若存在,请求出此时a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
a;(3)存在,a的值为2或4
+8
【解析】试题分析:(1)先根据勾股定理得出AC,进而得出CD,最后用三角形的面积公式即可;
(2)先判断出∠FDC=∠ACB,进而判断出△DFC∽△CBA,得出,即可求出DF,即可;
(3)分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论.
解:(1)在Rt△ABC中,AB=4,BC=a,
∴AC==
,
∴CD=AC=
,
∵∠ACD=90°,
∴S△ACD=ACCD=
.
(2)如图1,过点D作DF⊥BN于点F,
∵∠FDC+∠FCD=90°,∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°,
∴∠FDC=∠ACB,
∵∠B=∠DFC=90°,
∴∠FDC=∠ACB,
∵∠B=∠DFC=90°,
∴△DFC∽△CBA,
∴,
∴DF=BC=
a,
∴D到射线BN的距离为a;
(3)存在,①当EC=EA时,
∵∠ACD=90°,
∴EC=EA=AD,
∵AB∥CE∥DF,
∴BC=FC=a,
由(2)知,△DFC∽△CBA,
∴,
∴FC=AB=2,
∴a=2,
②当AE=AC时,如图2,AM⊥CE,
∴∠1=∠2,
∵AM∥BN,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠4,
由(2)知,∠3=∠4,
∴∠1=∠3,
∵∠AGD=∠DFC=90°,
∴△ADG∽△DCF,
∴,
∵AD==
,AG=a+2,CD=
,
∴,
∴a=4+8,
即:满足条件的a的值为2或4+8.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】今年以来,CPI(居民消费价格总水平)的不断上涨已成热门话题。已知某种食品在9月份的售价为8.1元/kg,11月份的售价为10元/kg。求这种食品平均每月上涨的百分率是多少?设这种食品平均上涨的百分率是x,根据题意可列方程为( )
A.8.1(1+2x)=10
B.8.1(1+x)=10
C.10(1-2x)=8.1
D.10(1-x)=8.1
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在中,
,
,点
、
分别在射线
、
上(点
不与点
、点
重合),且保持
.
①若点在线段
上(如图),且
,求线段
的长;
②若,
,求
与
之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
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