Question

【题目】我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）

（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，

OA＝2，OC＝1．

①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A　　，B　　，C　　．

②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为　　．

③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为　　．

（2）若ω＝120°，O为坐标原点．

①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝2，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．

②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是　　．

Answer 1

【答案】（1）①（2，0），（1，），（﹣1，）；②y＝x；③y＝﹣x+；

（2）①半径为2，M（）；②2＜r＜4

【解析】

（1）①如图21中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；
②如图22中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
③如图33中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；
②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1时，⊙M的半径即可解决问题；

解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．

由题意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2，

∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝，

∴A(2,0)，B(1,)，C(﹣1,)，

故答案为：A(2,0)，B(1,)，C(﹣1,)．

②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．

∵OD∥BE，OD∥PM，

∴BE∥PM，

∴，

∴，

∴y＝x．

故答案为：y＝x．

③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．

∴

故答案为：y＝﹣x+．

（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．

∵ω＝120°，OM⊥y轴，

∴∠MOA＝30°，

∵MF⊥OA，OA＝，

∴OF＝FA＝，

∴FM＝1，OM＝2FM＝2，

∴圆M的半径为2

∵MN∥y轴，

∴MN⊥OM，

∴MN＝，ON＝2MN＝，

∴M．

②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．

∵MK∥x轴，ω＝120°，

∴∠MKO＝60°，

∵MK＝OK＝2，

∴△MKO是等边三角形，

∴MN＝3，

当FN＝1时，MF＝3﹣1=2，

当EN＝1时，ME＝3+1=4，

观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为2＜r＜4．

故答案为：2＜r＜4．