【题目】在,,.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)观察猜想
如图1,当时,的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 .
(2)类比探究
如图2,当时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.
【答案】(1)1,(2)45°(3),
【解析】
(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明,即可解决问题.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明,即可解决问题.
(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.证明即可解决问题.
②如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可证:解决问题.
解:(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.
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,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是,
故答案为1,.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.
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直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为.
(3)如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.
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A,D,C,B四点共圆,
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,设,则,,
c.
如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可证:,设,则,,
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四边形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)如果四边形AECF是平行四边形,求证:四边形ABCD也是平行四边形;
(2)如果四边形AECF是菱形,求证:四边形ABCD也是菱形.
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【题目】在平面直角坐标系中,点,在轴上任取一点,连接,作的垂直平分线,过点作轴的垂线,与交于点.设点的坐标为.
(Ⅰ)当的坐标取时,点的坐标为________;
(Ⅱ)求,满足的关系式;
(Ⅲ)是否存在点,使得恰为等边三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在A地时距地面的高度b为 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式;
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为70米?
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【题目】由于2020年新型冠状病毒的袭击,不得不推迟开学,但停课不停学,各地都开展了网课.某中学为了解学生上网课情况,开学后从全校七年级学生中随机抽取部分学生进行了数学科目的测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:合格;D级:不合格),并将测试记录绘成如下两幅完全不同的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生数是多少?
(2)求图1中A级扇形的圆心角∠α的度数,并把图2中的条形统计图补充完成;
(3)该中学七年级共有1200名学生,如果全部参加这次数学科目测试,请估计不合格的人数.
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【题目】我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系,两条数轴称为斜坐标系的坐标轴,公共原点称为斜坐标系的原点,如图1,经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN,分别交x轴和y轴于点M,N.点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标,有序实数对(x,y)称为点P的斜坐标,记为P(x,y)
(1)如图2,ω=45°,矩形OABC中的一边OA在x轴上,BC与y轴交于点D,
OA=2,OC=1.
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A ,B ,C .
②设点P(x,y)在经过O、B两点的直线上,则y与x之间满足的关系为 .
③设点Q(x,y)在经过A、D两点的直线上,则y与x之间满足的关系为 .
(2)若ω=120°,O为坐标原点.
①如图3,圆M与y轴相切原点O,被x轴截得的弦长OA=2,求圆M的半径及圆心M的斜坐标.
②如图4,圆M的圆心斜坐标为M(2,2),若圆上恰有两个点到y轴的距离为1,则圆M的半径r的取值范围是 .
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【题目】如图,在△ABC中,分别以顶点A、B为圆心,大于AB为半径作弧,两弧在直线AB两侧分别交于M、N两点,过M、N作直线MN,与AB交于点O,以O为圆心,OA为半径作圆,⊙O恰好经过点C.下列结论中,错误的是( )
A.AB是⊙O的直径B.∠ACB=90°
C.△ABC是⊙O内接三角形D.O是△ABC的内心
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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