Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，在轴上任取一点，连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，与交于点．设点的坐标为．

（Ⅰ）当的坐标取时，点的坐标为________；

（Ⅱ）求，满足的关系式；

（Ⅲ）是否存在点，使得恰为等边三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，， ．

【解析】

（Ⅰ）作AN⊥PM于N，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PM，根据勾股定理计算；
（Ⅱ）分点M在x轴的正半轴上、点M在x轴的负半轴上两种情况，根据勾股定理列式计算；
（Ⅲ）根据勾股定理求出MA，根据（Ⅱ）中结论列出方程，解方程即可．

（Ⅰ）作AN⊥PM于N，

则四边形AOMN是矩形，
∴AN=OM=3，MN=OA=2，
∵l1是AM的垂直平分线，
∴PA=PM，
在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即32+（y-2）2=y2，
解得，y=，
∴点P的坐标为（3，），
故答案为：（3，）；
（Ⅱ）如图，过点作于，连接，

可得为矩形，可得，

∵轴，点的坐标为，

∴点的坐标为，

∴，，

∵点在的垂直平分线上，

∴，

在中，，且，

∴，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，要使△MPA为等边三角形，只需MA=MP即可，
∵点A的坐标为（0，2），点M的坐标为（0，x），
∴AM=，
则，
解得，x=±2，

∴或．