Question

【题目】在图1，2，3中，已知□ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=______°；

（2）如图2，连接AF．

①填空：∠FAD_______∠EAB（填“>”，“=”，“<”）；

②求证：点F在∠ABC的平分线上；

（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）①＝，②见解析；（3）3

【解析】

（1）根据菱形的性质计算即可；
（2）①证明∠DAB=∠FAE=60°，根据角的运算解答；
②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，证明△FAN≌△FME，根据全等三角形的性质得到FN=FM，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据直角三角形的性质得到GH=2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．

解：（1）当E与点B重合时，∠EAG=120°，∵四边形GABF为菱形，

∴∠ABF=60°，∠CEF=120°-60°=60°

故答案为60°

（2）① ＝

∵四边形GABF为菱形；∴AF平分∠GAE，∠FAE=120°÷2=60°

∠DAB=60°，∠FAD=60°-∠DAE；∠EAB=60°-∠DAE

∴∠FAD=∠EAB

②证明：过F点做AB和BC的垂线垂足分别为M，N

由①可得三角形AEF为等边三角形

∠FAN=180°-60°-∠EAB=120°-∠EAB

∠FEM=60°+∠AEB=60°+（180°-120°-∠EAB）=120°-∠EAB

∴∠FAN=∠FEM

在FNA和FME中

∴△FNA≌△FME（AAS）

∴FN=FM，

∴F在∠ABC的角平分线上

（3）当四边形AEGH为平行四边形时，可得GE//BH；

由四边形AEFG为菱形，可得GE平分∠FEA，∠GEA=30°

∴∠EAB=30°，AEB为等腰三角形；不妨设AB=x；可得AE=

∵AE=GH；AGH为等腰三角形∴AH==3x

∠DAB=60°，∠H=30°，∴HAD为等腰三角形，可得AD=3x

BC=AD=3x

∴