Question

如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.

(1)求证：EF∥CG；

(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积.

Answer 1

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD=2，∠ABC=90°.

∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，∴∠AFB+∠FAB=90°.

∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，

∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，AF=FG，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG.

∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG，

∴四边形EFGC是平行四边形，

∴EF∥CG.

(2)∵△ABF≌△CBE，∴FB=BE=AB=1，

∴AF==.

在△FEC和△CGF中，

∵EC=FG，∠ECF=∠GFC，FC=CF，

∴△FEC≌△CGF，∴S_△FEC=S_△CGF.

∴S_阴影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC-S_扇形FAG

=+×2×1+×(1+2)×1-

=-(或).