Question

2．如图，抛物线y=2（x-2）²与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S_△ABC．

Answer 1

分析 过B作BM⊥x轴与P，连接AC，BC，由抛物线y=2（x-2）²得C（2，0），于是得到对称轴为：直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=$\sqrt{3}$PC=$\sqrt{3}$（m-2），由于PB=n=2（m-2）²，于是得到$\sqrt{3}$（m-2）=2（m-2）²，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．

解答 解：过B作BM⊥x轴与P，连接AC，BC，
由抛物线y=2（x-2）²得C（2，0），
∴对称轴为：直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=$\sqrt{3}$PC=$\sqrt{3}$（m-2），
∵PB=n=2（m-2）²，
∴$\sqrt{3}$（m-2）=2（m-2）²，
解得：m=$\frac{4+\sqrt{3}}{2}$，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=$\sqrt{3}$，BP=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，三角形的面积，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．