【题目】如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°,BC=4,AB=AC,∠CBD=30°,M,N分别在BD,CD上,∠MAN=45°,则△DMN的周长为_____.
【答案】2+2
【解析】
将△ACN绕点A逆时针旋转,得到△ABE,由旋转得出∠NAE=90°,AN=AE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN,求出∠EAM=∠MAN,根据SAS推出△AEM≌△ANM,根据全等得出MN=ME,求出MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN的周长=BD+DC,代入求出答案即可.
将△ACN绕点A逆时针旋转,得到△ABE,如图:
由旋转得:∠NAE=90°,AN=AE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN,
∵∠BAC=∠D=90°,
∴∠ABD+∠ACD=360°﹣90°﹣90°=180°,
∴∠ABD+∠ABE=180°,
∴E,B,M三点共线,
∵∠MAN=45°,∠BAC=90°,
∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC﹣∠MAN=90°﹣45°=45°,
∴∠EAM=∠MAN,
在△AEM和△ANM中,
,
∴△AEM≌△ANM(SAS),
∴MN=ME,
∴MN=CN+BM,
∵在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,BC=4,
∴CD=BC=2,BD==2,
∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2+2,
故答案为:2+2.
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【题目】规定:如果一个四边形有一组对边平行,一组邻边相等,那么称此四边形为广义菱形.根据规定判断下面四个结论:①正方形和菱形都是广义菱形;②平行四边形是广义菱形;③对角线互相垂直,且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形;④若M、N的坐标分别为P是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点,PQ垂直直线于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的是_____.(填序号)
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2,且图象过点(1,2),与一次函数y=x+m的图象交于(0,-1).
(1)求两个函数解析式;
(2)求两个函数图象的另一个交点.
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【题目】将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系内,点,点,点.点是线段上的动点,将沿翻折得到.
(Ⅰ)如图①,当点落在线段上时,求点的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点为线段中点时,求线段的长度;
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【题目】将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内,点A(6,0),点C(0,4),点O(0,0).点P是线段BC上的动点,将△OCP沿OP翻折得到△OC′P.
(Ⅰ)如图①,当点C′落在线段AP上时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点P为线段BC中点时,求线段BC′的长度.
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【题目】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
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【题目】图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处观测P处,仰角分别为α、β,且tanα=,tanβ=,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1m,水面宽多少?
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