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【题目】如图,在RtABCRtBCD中,∠BAC=∠BDC90°BC4ABAC,∠CBD30°MN分别在BDCD上,∠MAN45°,则DMN的周长为_____

【答案】2+2

【解析】

将△ACN绕点A逆时针旋转,得到△ABE,由旋转得出∠NAE90°ANAE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN,求出∠EAM=∠MAN,根据SAS推出△AEM≌△ANM,根据全等得出MNME,求出MNCNBM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN的周长=BDDC,代入求出答案即可.

ACN绕点A逆时针旋转,得到ABE,如图:

由旋转得:∠NAE90°ANAE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN

∵∠BAC=∠D90°

∴∠ABD+ACD360°90°90°180°

∴∠ABD+ABE180°

EBM三点共线,

∵∠MAN45°,∠BAC90°

∴∠EAM=∠EAB+BAM=∠CAN+BAM=∠BAC﹣∠MAN90°45°45°

∴∠EAM=∠MAN

AEMANM中,

∴△AEM≌△ANMSAS),

MNME

MNCN+BM

∵在RtBCD中,∠BDC90°,∠CBD30°BC4

CDBC2BD2

∴△DMN的周长为DM+DN+MNDM+DN+BM+CNBD+DC2+2

故答案为:2+2

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