Question

如图，P为正方形ABCD外一点，且∠PAD=∠PBC=15°，求证：△PDC为等边三角形．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的判定

专题：证明题

分析：在△PAB内部作∠PAE=∠PBE=15°，连接PE，求出∠ABE=∠BAE=60°，判断出△ABE是等边三角形，再根据等边三角形和等腰三角形的对称性求出∠PEA=150°，利用“边角边”证明△PAD和△PAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PDA=∠PEA，再求出∠PDC=60°，同理可得∠PCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法证明即可．

解答：证明：如图，在△PAB内部作∠PAE=∠PBE=15°，连接PE，
∵∠PAD=∠PBC=15°，
∴∠ABE=∠BAE=90°-15°×2=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AD，∠AEB=60°，
∵∠PAB=∠PBA=90°-15°=75°，
∴PA=PB，
∴PE在AB的垂直平分线上，
∴∠PEA=

1

2

（360°-60°）=150°，
在△PAD和△PAE中，

AD=AE ∠PAD=∠PAE=15° AP=AP

，
∴△PAD≌△PAE（SAS），
∴∠PDA=∠PEA=150°，
∴∠PDC=150°-90°=60°，
同理可得∠PCD=60°，
∴△PDC为等边三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等边三角形和全等三角形．