Question

若

a

ab+a+1

+

b

bc+b+1

+

c

ac+c+1

=1，求abc的值．

Answer 1

考点：对称式和轮换对称式,完全平方式,整式的混合运算,分式的加减法

专题：

分析：将方程进行变形、简化、去分母、整理后，就可求出abc的值．

解答：解：∵

a

ab+a+1

+

b

bc+b+1

+

c

ac+c+1

=1，
∴

a

ab+a+1

+

b

bc+b+1

=1-

c

ac+c+1

=

ac+1

ac+c+1

，
∴

a

ab+a+1

=

ac+1

ac+c+1

-

b

bc+b+1

=

(ac+1)(bc+b+1)-b(ac+c+1)

(ac+c+1)(bc+b+1)

=

abc2+abc+ac+bc+b+1-abc-bc-b

(ac+c+1)(bc+b+1)

=

abc2+ac+1

(ac+c+1)(bc+b+1)

，
∴a（ac+c+1）（bc+b+1）=（ab+a+1）（abc²+ac+1），
∴（a²c+ac+a）（bc+b+1）=（ab+a+1）（abc²+ac+1），
∴a²bc²+a²bc+a²c+abc²+abc+ac+abc+ab+a=a²b²c²+a²bc+ab+a²bc²+a²c+a+abc²+ac+1，
整理得：a²b²c²-2abc+1=0，
∴（abc-1）²=0，
解得：abc=1．
∴abc的值为1．

点评：本题考查了分式的加减运算、整式的混合运用、完全平方公式等知识，对运算能力的要求比较高．