Question

【题目】知识再现

如图1，若点，在直线同侧，，到的距离分别是3和2，，现在直线上找一点，使的值最小，做法如下：

作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值，请你求出这个最小值．

实践应用

如图2，菱形中，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为______；

拓展延伸

如图3，在四边形的对角线上找一点，使，保留作图痕迹，不必写出作法.

Answer 1

【答案】知识再现: ;

实践应用：

拓展延伸：图形见详解

【解析】

知识再现:根据对称性和勾股定理即可解题,

实践应用：先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A＝120°可知∠B＝60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK＋QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK＋QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．

拓展延伸：作B关于AC的对称点，连接DE并延长，即可得出答案．

解：

知识再现:

由对称的性质得到

∴AP+BP=

过点B作BD⊥AC于D,

∴AC=3,CD=2,AD=1,

在Rt△ADB中

在Rt△中

实践应用：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵∠A＝120°，

∴∠B＝180°∠A＝180°120°＝60°，

如图2中，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK＋QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK＋QK的值最小，

在Rt△BCP′中，

∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，

∴P′Q＝CP′＝BCsinB＝2×＝

故答案为

拓展延伸：如图3所示：作B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于P即可．