Question

16．（1）如图①，在△ABC中，点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，若AD=2，AE=1，DF=4，则EG=2，$\frac{FB}{GC}$=2．
（2）如图②，在△ABC中点D、F在AB上，点E，G在AC上，且DE∥FG∥BC，以AD，DF，FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF），以AE，EG，GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG），求证：∠M=∠N．

Answer 1

分析 （1）由DE∥FG∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案；
（2）由DE∥FG∥BC，根据平行线分线段成比例定理，易证得△ADM与△AEN的三边成比例，即可证得△ADM≌△AEN，继而证得：∠M=∠N．

解答 （1）解：∵DE∥FG，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{EG}$，
∵AD=2，AE=1，DF=4，
∴EG=2，
∴AF=AD+DF=6，AG=AE+EG=3，
∵DE∥FG∥BC，
∴$\frac{FB}{GC}=\frac{AF}{AG}$=2；
故答案为：2，2；

（2）证明：∵DE∥FG∥BC，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{EG}=\frac{FB}{GC}$，
∵AM=BF，MD=DF，AN=GC，NE=EG，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{MD}{NE}=\frac{AM}{AN}$，
∴△ADM∽△AEN，
∴∠M=∠N．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．注意熟练掌握平行线分线段成比例定理是关键，注意各线段的对应关系．