Question

【题目】已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量y（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如表所示：

销售单价x（元/kg）	…	70	75	80	85	90	…
月销售量y（kg）	…	100	90	80	70	60	…

（1）请根据上表，写出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）若该绿茶的月销售利润为w（元），且售单价得高于80元，求w与x之间的函数关系式，并求出x为何值时，w的值最大？

（3）已知商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，在第一个月，按使w获得最大值的销售单价进行销售后；在第二个月受物价部门干预，销售单价不得高于78元，要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，求第二个月的销售单价的取值范围？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+240；（2）w＝﹣2（x﹣85）2+2450，单价为85元时，w的值最大，为2450；（3）75.5≤x≤78元

【解析】

（1）根据表格数据即可求出y与x的函数关系式；

（2）根据月销售利润＝单件利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；

（3）根据投资+总利润﹣第一个月的最大利润即为第二个月的利润，进而可求第二个月的销售单价的取值范围．

解：（1）根据表格数据可知：

设y＝kx+b，

将（70，100），（75，90）代入上式，

得

解得

所以y＝﹣2x+240；

答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+240．

（2）根据题意，得

w＝（x﹣50）y

＝（x﹣50）（﹣2x+240）

＝﹣2x2+340x﹣12000

＝﹣2（x﹣85）2+2450

当x＝85时，w的值最大，

答：销售单价为85元时，w的值最大．

（3）由（2）可知：第一个月还有3000﹣2450＝550元的投资成本没有收回，

则要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到1722元，

即w＝1722+550＝2272才可以．

可得方程：﹣2（x﹣85）2+2450＝2272

解得x1≈75.5，x2≈94.5（不符合题意，舍去）

∵﹣2＜0，

∴当x＜85时，w随x的增大而增大，

∵销售单价不得高于78元，

∴75.5≤x≤78．

答：第二个月的销售单价的取值范围是75.5≤x≤78元．