Question

2．已知抛物线y=x²-2mx+m²+m-4的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线于点P．
（1）求抛物线y=x²-2mx+m²+m-4顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）若直线AP交y轴的负半轴于点E，且$\frac{CP}{AC}=1$，求△OEP的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）抛物线解析式为y=x²-2mx+m²+m-4，设顶点的坐标为（x，y），利用抛物线顶点坐标公式得到x=m，y=m-4，然后消去m得到y与x的关系式即可．
（2）如图，根据已知得出OE=4-2m，E（0，2m-4），设直线AE的解析式为y=kx+2m-4，代入A的坐标根据待定系数法求得解析式，然后联立方程求得交点P的坐标，根据三角形面积公式表示出S=$\frac{1}{2}$（4-2m）（m-1）=-m²+3m-2=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，即可得出S的取值范围．

解答 解：（1）由抛物线y=x²-2mx+m²+m-4可知，a=1，b=-2m，c=m²+m-4，
设顶点的坐标为（x，y），
∵x=-$\frac{b}{2}$=m，
∴b=-2m，
y=$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$=$\frac{4（{m}^{2}+m-4）-（-2m）^{2}}{4}$=m-4=x-4，
即顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为y=x-4（0＜x＜4）；
（2）如图，由抛物线y=x²-2mx+m²+m-4可知顶点A（m，m-4），
∵$\frac{CP}{AC}=1$，
∴$\frac{BE}{AB}$=1，
∵AB=m，
∴BE=m，
∵OB=4-m，
∴OE=4-m-m=4-2m，
∴E（0，2m-4），
设直线AE的解析式为y=kx+2m-4，
代入A的坐标得，m-4=km+2m-4，解得k=-1，
∴直线AE的解析式为y=-x+2m-4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2m-4}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m}\\{{y}_{2}=m-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=m-1}\\{{y}_{2}=m-3}\end{array}\right.$，
∴P（m-1，m-3），
∴S=$\frac{1}{2}$（4-2m）（m-1）=-m²+3m-2=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴S有最大值$\frac{1}{4}$，
∴△OEP的面积S的取值范围：0≤S≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质以及抛物线的顶点坐标的求法，待定系数法求解析式，二次函数的最值等，本题的关键是记住抛物线的顶点坐标公式．