【题目】如图,在四边形中,,点是边上一点,,,垂足为点,交于点,连接.
(1)四边形是平行四边形吗?说明理由;
(2)求证:;
(3)若点是边的中点,求证:.
【答案】(1)四边形是平行四边形,理由见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)由可得AB∥DC,再由AB=DC即可判定四边形ABCD为平行四边形;
(2)由AB∥DC可得∠AED=∠CDE,然后根据CE=AB=DC可得∠CDE=∠CED,再利用三角形内角和定理即可推出∠AED与∠DCE的关系;
(3)延长DA,FE交于点M,由“AAS”可证△AEM≌△BEF,可得ME=EF,由直角三角形的性质可得DE=EF=ME,由等腰三角形的性质和外角性质可得结论.
(1)四边形是平行四边形,理由如下:
∵
∴AB∥DC
又∵AB=DC
∴四边形是平行四边形.
(2)∵AB∥DC
∴∠AED=∠CDE
又∵AB=DC,CE=AB
∴DC=CE
∴∠CDE=∠CED
∴在△CDE中,2∠CDE+∠DCE=180°
∴∠CDE=90°-∠DCE
∴
(3)如图,延长DA,FE交于点M,
∵四边形ABCD为平行四边形
∴DM∥BC,DF⊥BC
∴∠M=∠EFB,DF⊥DM
∵E为AB的中点
∴AE=BE
在△AEM和△BEF中,
∵∠M=∠EFB,∠AEM=∠BEF,AE=BE
∴△AEM≌△BEF(AAS)
∴ME=EF
∴在Rt△DMF中,DE为斜边MF上的中线
∴DE=ME=EF
∴∠M=∠MDE,
∴∠DEF=∠M+∠MDE=2∠M=2∠EFB.
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【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
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【题目】如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为_____.
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【题目】数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图.试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由. |
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).
图1 图2
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).
理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
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【题目】如图,在ABCD中,AB=4,AD=5,tanA=,点P从点A出发,沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向中点C运动,过点P作PQ⊥AB,交折线AD﹣DC于点Q,将线段PQ绕点P顺时针旋转90°,得到线段PR,连接QR.设△PQR与ABCD重叠部分图形的面积为S(平方单位),点P运动的时间为t(秒).
(1)当点R与点B重合时,求t的值;
(2)当点P在BC边上运动时,求线段PQ的长(用含有t的代数式表示);
(3)当点R落在ABCD的外部时,求S与t的函数关系式;
(4)直接写出点P运动过程中,△PCD是等腰三角形时所有的t值.
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【题目】如图①,点是等边内一点,,.以为边作等边三角形,连接.
(1)求证:;
(2)当时(如图②),试判断的形状,并说明理由;
(3)求当是多少度时,是等腰三角形?(写出过程)
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【题目】如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)求圆心O到BC的距离OD.
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【题目】如图,E是正方形ABCD的边AB上的动点,EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证:△ADE∽△BEF.
(2)设正方形的边长为4,AE=x,BF=y.当x取什么值时,y有最大值?并求出这个最大值.
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【题目】“绿水青山就是金山银山”,随着生活水平的提高人们对饮水品质的需求越来越高,岳阳市槐荫公司根据市场需求代理,两种型号的净水器,每台型净水器比每台型净水器进价多元,用万元购进型净水器与用万元购进型净水器的数量相等
(1)求每台型、型净水器的进价各是多少元?
(2)槐荫公司计划购进,两种型号的共台进行试销,,购买资金不超过万元.试求最多可以购买型净水器多少台?
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