Question

【题目】如图,E是正方形ABCD的边AB上的动点,EF⊥DE交BC于点F.

(1)求证:△ADE∽△BEF.

(2)设正方形的边长为4,AE=x,BF=y.当x取什么值时,y有最大值?并求出这个最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】试题分析：（1）这两个三角形中，已知的条件有∠DAE=∠EBF=90°,

那么只要得出另外一组对应角相等即可得出两三角形相似，因为∠ADE+∠DEA=90°.

而∠AED+∠FEB=90°，因此∠ADE=∠FEB.那么就构成了两三角形相似的条件；
（2）可用表示出BE的长，然后根据（1）中△ADE∽△BEF.可得出关于的比例关系式，然后就能得出一个关于的函数关系式．根据函数的性质即可得出的最大值及相应的的值．

试题解析：(1) 四边形ABCD是正方形,

∴∠DAE=∠EBF=90°,

∴∠ADE+∠DEA=90°.

又EF⊥DE,

∴∠AED+∠FEB=90°,

∴∠ADE=∠FEB.

∴△ADE∽△BEF.

(2) 由(1)△ADE∽△BEF,AD=4,BE=4-x,得,得y= (-x2+4x)

= [-(x-2)2+4]=- (x-2)2+1,

∴当x=2时,y有最大值,y的最大值为1.