Question

12．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达点C处，测得M小区位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，此时AN的长约是（　　）$\sqrt{2}≈{1.4^{\;}}{，^{\;}}\sqrt{3}≈1.7$．

• A． 350米
• B． 650米
• C． 634米
• D． 700米

Answer 1

分析 首先过点M作MN⊥AC于点N，由题意可求得∠MAN=30°，∠MCN=45°，然后设MN=x，由三角函数的性质，可表示出AN与CN，继而可得方程：$\sqrt{3}$x+x=1000，解此方程即可求得答案．

解答 解：如图：过点M作MN⊥AC于点N，
根据题意得：∠MAN=60°-30°=30°，∠BCM=75°，∠DCA=60°，
∴∠MCN=180°-75°-60°=45°，
设MN=x米，
在Rt△AMN中，AN=$\frac{MN}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x（米），
在Rt△CMN中，CN=$\frac{MN}{tan45°}$=x（米），
∵AC=1000米，
∴$\sqrt{3}$x+x=1000，
解得：x=500（$\sqrt{3}$-1），
∴AN=$\sqrt{3}$x≈650（米）．
故选B．

点评 此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．