Question

【题目】如图，在中，，且点的坐标为，点坐标为，点在轴的负半轴上，抛物线经过点和点

求，的值；

在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由

点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，交于点，探究：当点在什么位置时，四边形是平行四边形，此时，请判断四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）符合题意的点的坐标为：；；；，；（3）四边形是梯形，理由见解析.

【解析】

（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式得出即可；

（2）利用当AQ=QC，以及当AC=Q1C时，当AC=CQ2=2时，当AQ3=AC=2时，分别得出符合题意的答案即可；

（3）利用平行四边形的性质首先得出BC的长，进而表示出线段ME的长，进而求出答案，再利用梯形的判定得出答案．

∵点的坐标为，点坐标为，点在轴的负半轴上，抛物线经过点和点，

∴，

解得：；

在抛物线的对称轴上存在点，使得为等腰三角形，

当，如图，

由得：，

即抛物线对称轴为：直线，则，，

∵，，

∴，

∴，

∴；

当时，过点作直线，于一点，

则，

∵，，

∴，

∴，

∴，故的坐标为：；

当时，由的坐标可得；；

当时，则，故，根据对称性可知（和关于轴对称）也符合题意，

综上所述：符合题意的点的坐标为：；；；，；

如图所示，当四边形是平行四边形，则，

∵，且点的坐标为，点坐标为，

∴，

则，

设直线的解析式为：，

故，

解得：，

故直线的解析式为：，

设，，

故，

解得：（不合题意舍去），，

故点在，此时四边形是平行四边形；

四边形是梯形，

理由：∵四边形是平行四边形，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∵，，

∴四边形是梯形．