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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A﹣10),C23)两点,与y轴交于点N.其顶点为D

1)抛物线及直线AC的函数关系式;

2)设点M3m),求使MN+MD的值最小时m的值;

3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点BE为直线AC上的任意一点,过点EEF∥BD交抛物线于点F,以BDEF为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;

4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.

【答案】1,直线AC的函数关系式为y=x+123)(23)、(01)、。(4

【解析】

解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A﹣10)及C23)得,

,解得抛物线的函数关系式为

设直线AC的函数关系式为y=kx+n,由直线AC过点A﹣10)及C23)得

,解得直线AC的函数关系式为y=x+1

2)作N点关于直线x=3的对称点N′

x=0,得y=3,即N03)。

∴N′63

D14)。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t,则

,解得

故直线DN′的函数关系式为

根据轴对称的性质和三角形三边关系,知当M3m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,

使MN+MD的值最小时m的值为

3)由(1)、(2)得D14),B12),

BD为平行四边形对角线时,由BCDN的坐标知,四边形BCDN是平行四边形,此时,点E与点C重合,即E23)。

BD为平行四边形边时,

E在直线AC上,Exx+1),则Fx)。

∵BD=2

若四边形BDEFBDFE是平行四边形时,BD=EF

,即

,解得,x=0x=1(舍去),∴E01)。

,解得,∴EE

综上,满足条件的点E为(23)、(01)、

4)如图,过点PPQ⊥x轴交AC于点Q;过点CCG⊥x轴于点G

Qxx+1),则Px﹣x2+2x+3)。

时,△APC的面积取得最大值,最大值为

1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。

2)根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′,当M3m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小。

3)分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。

4)如图,过点PPQ⊥x轴交AC于点Q;过点CCG⊥x轴于点G,设Qxx+1),则Px﹣x2+2x+3),求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知,由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。

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