【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
【答案】(1),直线AC的函数关系式为y=x+1(2)(3)(2,3)、(0,1)、、。(4)
【解析】
解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,解得。∴抛物线的函数关系式为。
设直线AC的函数关系式为y=kx+n,由直线AC过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。
(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,
令x=0,得y=3,即N(0,3)。
∴N′(6, 3)
由得
D(1,4)。
设直线DN′的函数关系式为y=sx+t,则
,解得。
∴故直线DN′的函数关系式为。
根据轴对称的性质和三角形三边关系,知当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
∴。
∴使MN+MD的值最小时m的值为。
(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),
①当BD为平行四边形对角线时,由B、C、D、N的坐标知,四边形BCDN是平行四边形,此时,点E与点C重合,即E(2,3)。
②当BD为平行四边形边时,
∵点E在直线AC上,∴设E(x,x+1),则F(x,)。
又∵BD=2
∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时,BD=EF。
∴,即。
若,解得,x=0或x=1(舍去),∴E(0,1)。
若,解得,,∴E或E。
综上,满足条件的点E为(2,3)、(0,1)、、。
(4)如图,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)。
∴。
∴
。
∵,
∴当时,△APC的面积取得最大值,最大值为。
(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。
(2)根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小。
(3)分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。
(4)如图,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3),求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知,由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。
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【题目】如图,在中,,且点的坐标为,点坐标为,点在轴的负半轴上,抛物线经过点和点
求,的值;
在抛物线的对称轴上是否存在点,使得为等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由
点是线段上的一个动点,过点作轴的平行线交抛物线于点,交于点,探究:当点在什么位置时,四边形是平行四边形,此时,请判断四边形的形状,并说明理由.
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【题目】为发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门对调查结果进行整理,绘制成如下两幅不完整的统计图请结合图中所给信息解答下列问题:
本次调查的学生共有______人,在扇形统计图中,m的值是______.
分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数,并将条形统计图补充完整.
该校共有学生2000人,估计该校约有多少人选修乐器课程?
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【题目】农夫将苹果树种在正方形的果园内,为了保护苹果树不受风吹,他在苹果树的周围种上针叶树.在下图里,你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)和苹果树数量及针叶树数量的规律:当n为某一个数值时,苹果树数量会等于针叶树数量,则n为___________
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【题目】如图1,在长方形中,BC=3,动点从出发,以每秒1个单位的速度,沿射线方向移动,作关于直线的对称,设点的运动时间为
(1)当P点在线段BC上且不与C点重合时,若直线PB’与直线CD相交于点M,且∠PAM=45°,试求:AB的长
(2)若AB=4
①如图2,当点B’落在AC上时,显然△PCB’是直角三角形,求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻,使得△PCB’是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的t的值?若不存在,请说明理由
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【题目】如图,L1反映了某公司产品的销售收入(元)与销售量的函数关系,L2反映了该公司产品的销售成本(元)与销售量的函数关系,根据图象解答问题:
(1)分别求出销售收入和销售成本与的函数关系式
(2)指出两图象的交点的实际意义,公司的销售量至少要达到多少才能不亏损?
(3)如果该公司要盈利1万元,需要销售多少吨产品?
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【题目】如图1,在□ABCD中,,,,射线AE平分动点P以的速度沿AD向终点D运动,过点P作交AE于点Q,过点P作,过点Q作,交PM于点设点P的运动时间为,四边形APMQ与四边形ABCD重叠部分面积为
______用含t的代数式表示
当点M落在CD上时,求t的值.
求S与t之间的函数关系式.
如图2,连结AM,交PQ于点G,连结AC、BD交于点H,直接写出t为何值时,GH与三角形ABD的一边平行或共线.
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【题目】如图,正方形的边长为,点是边的中点,将沿翻折得到,延长交边于点,则,求出此时的值;
如图,矩形中,,,点是边的中点,同样将沿翻折得到,延长交边于点.
①证明:;
②若点恰是边的中点,求的值;
③若与相似,求的值.
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【题目】如图,是矩形内一点,于点,于点,.
请判断四边形是否是正方形?若是,写出证明过程:若不是,说明理由;
延长到点,使,连接交的延长线于点,求的度数.
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