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【题目】如图1,在长方形中,BC=3,动点出发,以每秒1个单位的速度,沿射线方向移动,作关于直线的对称,设点的运动时间为

1)当P点在线段BC上且不与C点重合时,若直线PB’与直线CD相交于点M,且∠PAM=45°,试求:AB的长

2)若AB=4

①如图2,当点B’落在AC上时,显然PCB’是直角三角形,求此时t的值

②是否存在异于图2的时刻,使得PCB’是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的t的值?若不存在,请说明理由

【答案】1AB的长为3;(2)①;②t的值为4.

【解析】

1)如图所示,延长CD交于M,连接AM,用角角边证明,可推出AB=BC=3.

2)①在Rt中,找出边长利用勾股定理建立方程求解;

②分三种情况讨论:,分别作出相应的图形,在中,分别找出边长,利用勾股定理建立方程求解.

1)如图所示,延长CD交于M,连接AM

由折叠的性质可知

中,

AAS

∵ABCD为矩形,∴AD=BC=3

∴AB=3

2)①在RtABC中,

∵点P点的运动时间为t,速度为1,∴BP=t

,

Rt中,由勾股定理有,即,解得.

②当,如下图所示,

∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=3CD=AB=4

有折叠性质有,在Rt中,

在Rt△中,

,即,解得

当∠=90°时,如下图所示,

由折叠可得

Rt中,

Rt中,

,即,解得

=90°时,如下图所示,根据折叠易得四边形为正方形,∴PB=AB=4

综上,满足题意的t的值为4.

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