Question

1．已知三角形两边长分别是3和4，第二边长是方程（2x-11）²-（x-1）²=0的解．
（1）求出第三边长；
（2）求出三角形周长；
（3）判断这个三角形的形状；
（4）求出它的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据平方差公式分解因式，再解方程，由三角形三边关系确定第三边为4；
（2）计算三边的和即可；
（3）有两边相等，则是等腰三角形
（4）作高线，求高AD的长，代入面积公式可求得结果．

解答 解：（1）（2x-11）²-（x-1）²=0，
（2x-11+x-1）（2x-11-x+1）=0，
（3x-12）（x-10）=0，
x=4或10，
∵三角形两边长分别是3和4，
∴1＜第三边长＜7，
∴x=10不符合题意，舍去，
∴第三边长为4；
（2）三角形周长=3+4+4=11；
（3）∵三角形的三边长分别为3、4、4，
∴此三角形是等腰三角形；
（4）如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB=AC=4，
∴DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{55}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{55}}{2}$×3=$\frac{3\sqrt{55}}{4}$，
答：它的面积是$\frac{3\sqrt{55}}{4}$．

点评 本题考查了利用因式分解法解一元二次方程和三角形的三边关系、等腰三角形的判定，属于基础题，难度不大，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；在解方程时，可以利用平方差公式分解因式求解，也可以利用完全平方公式展开化为一般形式后，再解方程．