Question

9．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，
①若⊙O的半径为2，求BD的长；
②试问CD：BC的值是否为定值？若是，直接写出这个比值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DOC=2∠ACD=90°易得∠ACD=45°，△OCD为等腰直角三角形，则∠OCD=45°，于是可计算出∠OCA=90°，则可根据切线的判定定理得到直线AC是⊙O的切线；
（2）①由于∠ACB=75°，∠ACD=45°则∠DCB=30°，由△OCD为等腰直角三角形得到CD=$\sqrt{2}$OC=2$\sqrt{2}$，根据圆周角定理得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠COD=45°，作DH⊥BC于H，如图，利用解直角三角形，先在Rt△CDH中求出DH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{2}$，然后在Rt△BDH中可计算出BD的长；
②设⊙O的半径r，则CD=$\sqrt{2}$r，与①一样先求出DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，CH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，再求出BH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，所以BC=BH+CH=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$r，然后$\frac{CD}{BC}$的值．

解答 （1）证明：∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°，△OCD为等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°，
∴OC⊥AC，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：①∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∵△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$OC=2$\sqrt{2}$，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠COD=45°，
作DH⊥BC于H，如图，
在Rt△CDH中，∵∠DCH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△BDH中，∵∠DBH=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$DH=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2；
②CD：BC的值是定值．
设⊙O的半径r，则CD=$\sqrt{2}$r，
在Rt△CDH中，∵∠DCH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
CH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，
在Rt△BDH中，∵∠DBH=45°，
∴BH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴BC=BH+CH=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$r，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}r}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}r}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．