Question

17．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE=AF，AC和EF交于点O，延长AC至点G，使得AO=OG，连接EG、FG．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：四边形AEGF是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得∠B=∠D=90°，AD=AB，然后再证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得EB=DF；
（2）首先证明EC=FC，再由AE=AF可得AC垂直平分EF，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴EB=DF；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，
∵EB=DF，
∴EC=FC，
∴AC垂直平分EF，
∵AO=GO，
∴四边形AEGF是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．