Question

5．已知关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x${\;}_{1}^{2}$+3x₁x₂+x${\;}_{2}^{2}$=5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0有两个实数根得到△=（2m-3）²-4m²=-12m+9≥0，求出m的取值范围；
（2）首先根据根与系数关系的关系得到x₁+x₂=3-2m，x₁•x₂=m²，然后得到x${\;}_{1}^{2}$+3x₁x₂+x${\;}_{2}^{2}$=（3-2m）²-2m²+3m²=2m²-12m+9=5m²-12m+9=4，求出m的值即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂，
∴△≥0，
∴△=（2m-3）²-4m²=-12m+9≥0，
∴m≤$\frac{3}{4}$，
（2）由题意得x₁+x₂=3-2m，x₁•x₂=m²，
∵（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$，
∴x${\;}_{1}^{2}$+3x₁x₂+x${\;}_{2}^{2}$=（3-2m）²-2m²+3m²=2m²-12m+9=5m²-12m+9，
∵x${\;}_{1}^{2}$+3x₁x₂+x${\;}_{2}^{2}$=5，
∴5m²-12m+9=5，
∴（5m-2）（m-2）=0，
∴m₁=2，m₂=$\frac{2}{5}$，
∵由（1）知道m≤$\frac{3}{4}$，
∴m=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是把x${\;}_{1}^{2}$+3x₁x₂+x${\;}_{2}^{2}$=5转化为关于m的一元二次方程，此题还要掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△≥0，方程有两个的实数根．