Question

6．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．
（1）若AC=5，则当t=$\frac{5}{3}$时，四边形AMQN为菱形；当t=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$时，NQ与⊙O相切；
（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．

Answer 1

分析 （1）AP=t，CQ=t，则PQ=5-2t，由于NM⊥AB，根据垂径定理得PM=PN，根据菱形的判定方法，当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5-2t，然后解一元一次方程可求t的值；根据切线的判定定理，当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，此时OP=t-1，OQ=AC-OA-QC=4-t，再证明Rt△ONP∽Rt△OQN，利用相似比可得t²-5t+5=0，然后解一元二次方程可得到t的值；
（2）当四边形AMQN为正方形．则∠MAN=90°，根据圆周角定理得到MN为⊙O的直径，而∠MQN=90°，又可判断AQ为直径，于是得到点P在圆心，所以t=AP=1，CQ=t=1，则可得到此时AC=AQ+CQ=3．

解答 解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5-2t，
∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5-2t，解得t=$\frac{5}{3}$；
当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，

OP=t-1，OQ=AC-OA-QC=5-1-t=4-t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴$\frac{ON}{OQ}$=$\frac{OP}{ON}$，即$\frac{1}{4-t}$=$\frac{1-t}{1}$，
整理得t²-5t+5=0，解得t₁=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$（1≤t≤2.5，故舍去），
即当t=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$时，NQ与⊙O相切；
故答案为$\frac{5}{3}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$；
（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：
∵四边形AMQN为正方形．
∴∠MAN=90°，
∴MN为⊙O的直径，
而∠MQN=90°，
∴点Q在⊙O上，
∴AQ为直径，
∴点P在圆心，
∴MN=AQ=2，AP=1，
∴t=AP=1，CQ=t=1，
∴AC=AQ+CQ=2+1=3．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了菱形和正方形的判定．