Question

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD∥BC，交AC于点D．
（1）求∠ADO的度数；
（2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB于点G．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②若BG=2，AD=3，求四边形CDEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由圆周角和平行线的性质求出结论．
（2）根据矩形的判定定理得出结论．
（3）根据三角形相似和勾股定理得到方程，联立方程组求出CF的长度，即可求出矩形的面积．

解答 解：（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°；

（2）∵EF是⊙O的切线，AB为⊙O直径，
∴∠DEF=90°，
由（1）知∠ADO=∠C=90°，
∴∠ADO=∠C=∠DEF=90°，
∴四边形CDEF是矩形；

（3）∵四边形DEFC是矩形，
∴ED⊥AC，DE=CF，
∴CD=AD=3，
设DE=CF=y，⊙O的半径=r，
∵OD∥CF，
∴$\frac{OD}{BF}$=$\frac{OG}{BG}$，
∴$\frac{y-r}{y-2（y-r）}$=$\frac{r-2}{2}$，
在R_t△ADO中，3²+（y-r）²=r²，
解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-r}{y-2（y-r）}=\frac{r-2}{2}}\\{{3}^{2}{+（y-r）}^{2}{=r}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{9}{2}}\\{r=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
∴S_{四边形DEFC}=$\frac{9}{2}$×3=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，找准相似三角形是解题的关键．