Question

【题目】如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30，∠OCD=45

（1）观察猜想

将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN= .

（2）操作探究

将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；

（3）深化拓展

将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 时，边CD恰好与边MN平行。（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）105°；（2）150°；（3）75°或255°

【解析】

分析: （1）根据三角形的内角和定理可得∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO，代入数据计算即可得解；

（2）根据角平分线的定义求出∠DON=45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；

（3）①分CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD=∠M=60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO=∠M=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可；②分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．

详解:

（1）105°；

（2）∵OD平分∠MON，

∴∠DON=∠MPN=×90°=45°，

∴∠DON=∠D=45°，

∴CD∥AB，

∴∠CEN=180°﹣∠MNO=180°﹣30°=150°；

（3）75°或255°时，边CD恰好与边MN平行.