Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OC，

∵C是 的中点，AB是⊙O的直径，

∴CO⊥AB，

∵BD是⊙O的切线，

∴BD⊥AB，

∴OC∥BD，

∵OA=OB，

∴AC=CD；

（2）解：解：∵E是OB的中点，

∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

，

∴△COE≌△FBE（ASA），

∴BF=CO，

∵OB=2，

∴BF=2，

∴AF= =2 ，

∵AB是直径，

∴BH⊥AF，

∴△ABF∽△BHF，

∴ = ，

∴ABBF=AFBH，

∴BH= = = ．

【解析】（1）连接OC，由C是 的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF= ，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．