Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，抛物线的顶点在直线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做轴交BC于点Q，求线段PQ长度的最大值，及此时点P的坐标；

（3）点M在x轴上，点N在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ长度的最大值为,点P的坐标为；（3）点M的坐标为，，．

【解析】

（1）根据对称轴为直线x=1，和点A坐标可知点B坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先求出过B，C两点的直线解析式，之后即可设出，，再根据两点之间的距离公式，即可得出，化成顶点式即可求出答案；

（3）设点M的坐标为（m,0），点N的坐标为（1，n）.分四边形CBMN为平行四边形，四边形CMBN为平行四边形，四边形CMBN为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程，解答即可得出答案.

解（1）∵对称轴为直线x=1，点A坐标为（-1,0），

∴点B坐标为（3,0）

将A（-1,0），B（3,0），C（0,3）代入中有：

，

解得：

∴抛物线解析式为：．

（2）设过B，C两点的直线解析式为

将B（3,0），C（0,3）代入解得b=3,k=-1，

∴直线BC的解析式为．

设点，．

∴．

∴

∴当时，长度的最大值为．

此时，．

∴点P的坐标为．

（3）设点M的坐标为（m,0），点N的坐标为（1，n）.分三种情况考虑：

①如图1，当四边形CBMN为平行四边形时，有1-0=m-3，解得m=4，

所以此时点M的坐标为（4,0）

②如图2，当四边形CMBN为平行四边形时，有m-1=0-3，解得m=-2，

所以此时点M的坐标为（-2,0）

③如图3，当四边形CMBN为平行四边形时，有0-1=m-3，解得m=2，

所以此时点M的坐标为（2,0）；

综上，点M的坐标为，，．