Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、点E为BC边上两点，且AC＝DC，

（1）若∠EAC＝∠EAF，EF⊥AB且AB＝5，BC＝4，求线段DE的长度；

（2）若EF⊥AD于点P，CF⊥AE于点Q，且AE＝CF，求证：DE+PF＝AP

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由勾股定理可求AC＝3，由“AAS”可证△ACE≌△AFE，可得AC＝AF＝3，EC＝EF，由勾股定理可求CE的长，即可求DE的长；

（2）如图，连接DF，由“SAS”可证△ACE≌△CDF，可得CE＝DF，∠ACE＝∠CDF＝90°，设AC＝CD＝2a，由等腰直角三角形的性质可得AD＝2a，EC＝DF＝DE＝a，EF＝a，DP＝EP＝PF＝a，即可得结论．

解：∵AB＝5，BC＝4，∠C＝90°，

∴AC＝＝3，

∵AE＝AE，∠EAC＝∠EAF，∠C＝∠EFA＝90°，

∴△ACE≌△AFE（AAS）

∴AC＝AF＝3，EC＝EF，

∴CD＝AC＝3，BF＝2，

∵BE2＝BF2+EF2，

∴BE2＝4+（4﹣BE）2，

∴BE＝，

∴EC＝，

∴DE＝CD﹣CE＝；

（2）如图，连接DF，

∵CF⊥AE，

∴∠ACB＝∠CQA＝90°

∴∠ACQ+∠ECQ＝90°，∠ACQ+∠CAQ＝90°，

∴∠ECQ＝∠CAQ，且CD＝AC，CF＝AE，

∴△ACE≌△CDF（SAS）

∴CE＝DF，∠ACE＝∠CDF＝90°，

∵AC＝CD，∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠CDA＝45°，

∴∠FDA＝∠CDA＝45°，且EF⊥AD，

∴∠EDP＝∠DEP＝45°＝∠PDF＝∠DFP，

∴DP＝PE＝PF，DF＝DE，

∴DE＝DF＝EC，

设AC＝CD＝2a，

∴AD＝2a，EC＝DF＝DE＝a，

∴EF＝a，DP＝EP＝PF＝a，

∴AP＝AD﹣DP＝a，

∴DE+PF＝a+a＝a＝AP

∴DE+PF＝AP．