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【题目】如图OABOAOB=10,∠AOB=80°,以点O为圆心,6为半径的优弧弧MN分别交OAOB于点MN

(1)P在右半弧上(∠BOP是锐角),OP绕点O逆时针旋转80°求证APBP

(2)T在左半弧上AT与弧相切求点TOA的距离

(3)设点Q在优弧弧MNAOQ的面积最大时直接写出BOQ的度数

【答案】(1)答案见解析;(2);(3)当∠BOQ的度数为10°或170°时,△AOQ的面积最大.

【解析】

试题(1)首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′,进而得出△AOP≌△BOP′,即可得出答案;

(2)利用切线的性质得出∠ATO=90°,再利用勾股定理求出AT的长,进而得出TH的长即可得出答案;

(3)当OQ⊥OA时,△AOQ面积最大,且左右两半弧上各存在一点分别求出即可.

试题解析:(1)∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP,

∴∠AOP=∠BOP′,

∵在△AOP和△BOP′中,

∴△AOP≌△BOP′(SAS),

∴AP=BP′;

(2)连接OT,过点T作TH⊥OA于点H,

∵AT与⊙O相切,∴∠ATO=90°

∴AT==8,

×OA×TH=×AT×OT,

×10×TH=×8×6,解得:TH=

∴点T到OA的距离为

(3)如图,当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大理由如下:

当Q点在优弧左侧上,

∵OQ⊥OA,

∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°,

当Q点在优弧MN右侧上,

∵OQ⊥OA,

∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大

∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°,

综上所述:当∠BOQ的度数为10°或170°时,△AOQ的面积最大.

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的值为_________

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