Question

【题目】一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“完美数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b为m的最佳完美变形，此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．

（1）8　 　（填“是”或“不是”）完美数；10　 　（填“是”或“不是”）完美数；13　 　（填“是”或“不是”）完美数；

（2）求F（48）；

（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）是，不是，是；（2）290；（3）F（n）的最小值为145

【解析】

（1）根据完美数的特征即可得到结论；

（2）设，根据把48写成两数的乘积，然后分类讨论即可；

（3）由题可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．因为x+y能够被8整除且1≤x＜y≤9，所以x+y＝8或x+y＝16，分两种情况讨论即可求解．

解：（1）∵8＝（3﹣1）×（3+1），

∴8是完美数；

∵10不能写成两个正整数和与差乘积的形式，

∴10不是完美数；

∵13＝（7﹣6）×（7+6），

∴13是完美数．

故答案为：是，不是，是；

（2）设

因为a+b，a﹣b同为奇数或同为偶数，所以48＝24×2 或 48＝12×4 或48＝8×6，

或或

解得：或或

∵132+112＞82+42＞72+12

∴F（48）＝132+112＝290

（3）由题可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．

∵x+y能够被8整除且1≤x＜y≤9，

∴x+y＝8或x+y＝16

①当x+y＝8时，1≤x＜y≤9，∴x＝1或2或3，

即n＝17或26或35，而26不是“完美数”

或或，

解得：或或．

F（17）＝92+82＝145，

∵182+172＞62+12

∴F（35）＝182+172＝613

②当x+y＝16时，1≤x＜y≤9，∴x＝7，

∴n＝79

∴，

解得，

∴F（79）＝402+392＝3121，

∴F（n）的最小值为145．