Question

20．已知，P为函数y=$\frac{k}{|x|}$图象上的任意点．
（1）如图1，若P点在第一象限．请分析函数y=$\frac{k}{|x|}$图象的对称性，并利用直尺和圆规在图1中作出P在图象上的对称点F（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）又若P₁（a²+2，y₁）、P₂（a²，y₂）、P₃（-a²-1，y₃）是函数y=$\frac{k}{|x|}$（k＞0）图象上的三点，请比较y₁、y₂、y₃的大小，并说明理由．
（3）使k=8，过点P分别作PC⊥x轴于C点，PK⊥y轴于K点，且PC交直线l：y=4x于点D，又使⊙P与y轴相切于点K，设⊙P的面积为S．试探究：
①如图2，连接KD、KC，若P在第一象限，试求出使△KPD与△KPC相似时S所有可能的取值？
②如图3，又若P不一定在第一象限．请写出⊙P 与直线l相切时，S的可能值．（不用写过程，直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）过P点作x轴的平行线，然后以O为圆心，以OP长为半径画弧，交平行线于F即可；
（2）由函数y=$\frac{k}{|x|}$图象可知，当x＞0时，y随x的增大而减小，求得P₃（-a²-1，y₃）的对称点为（a²+1，y₃），然后根据y随x的增大而减小求得即可；
（3）①分两种情况分别讨论求得；
②分x＞0和x＜0两种情况，应用三角形全等以及勾股定理即可求得圆的半径，进而求得圆的面积．

解答 解：（1）作出P在图象上的对称点F，如图1所示：

（2）由函数y=$\frac{k}{|x|}$图象可知，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵P₃（-a²-1，y₃）的对称点为（a²+1，y₃），
∵a²+2＞a²+1＞a²，
∴y₁＜y₃＜y₂；
（3）①如图2，

∵k=8，P在第一象限，
∴在第一象限函数y=$\frac{k}{|x|}$的解析式为y=$\frac{8}{x}$（x＞0），
设P（a，$\frac{8}{a}$），
∵过点P分别作PC⊥x轴于C点，且PC交直线l：y=4x于点D，
∴D（a，4a），
∴PK=a，PC=$\frac{8}{a}$，PD=4a-$\frac{8}{a}$，
当△KPD∽△KPC时，则$\frac{PK}{PK}$=$\frac{PD}{PC}$，
即$\frac{8}{a}$=4a-$\frac{8}{a}$，解得a=1，
∴S=πa²=π；
当△KDP∽△CKP时，则$\frac{PD}{PK}$=$\frac{PK}{PC}$，
即$\frac{4a-\frac{8}{a}}{a}$=$\frac{a}{\frac{8}{a}}$，解得a²=16±8$\sqrt{3}$，
∴S=（16+8$\sqrt{3}$）π或（16-8$\sqrt{3}$）π；
∴使△KPD与△KPC相似时S所有可能的取值为π或（16+8$\sqrt{3}$）π或（16-8$\sqrt{3}$）π；
②如图3，

当x＞0时，函数y=$\frac{k}{|x|}$的解析式为y=$\frac{8}{x}$（x＞0），
设P（a，$\frac{8}{a}$），
∵过点P分别作PC⊥x轴于C点，且PC交直线l：y=4x于点D，
∴D（a，4a），
∴PK=OC=PQ=a，PC=$\frac{8}{a}$，PD=$\frac{8}{a}$-4a，
由题意可知△PDQ≌△ODC，
∴OD=PD=$\frac{8}{a}$-4a，
在RT△ODC中，OD²=OC²+DC²，
即（4a-$\frac{8}{a}$）²=a²+（4a）²，解得a²=8$\sqrt{17}$-32，
∴S=πa²=（8$\sqrt{17}$-32）π；
当x＜0时，函数y=$\frac{k}{|x|}$的解析式为y=-$\frac{8}{x}$（x＜0），
设P（a，$\frac{8}{a}$），
∵过点P分别作PC⊥x轴于C点，且PC交直线l：y=4x于点D，
∴D（a，4a），
∴PK=OC=PQ=-a，PC=-$\frac{8}{a}$，PD=-4a-$\frac{8}{a}$，
由题意可知△PDQ≌△ODC，
∴OD=PD=-4a-$\frac{8}{a}$，
在RT△ODC中，OD²=OC²+DC²，
即（-4a-$\frac{8}{a}$）²=（-a）²+（-4a）²，解得a²=8$\sqrt{17}$+32，
∴S=πa²=（8$\sqrt{17}$+32）π；
∴S的可能值为（8$\sqrt{17}$-32）π或（8$\sqrt{17}$+32）π．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，数形结合思想的运用是解题的关键．