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    15．如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
    【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：△ADC∽△CEB．
    【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
    【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
    （1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；
    （2）若AD=3，BC=5，试求AB的长；

    分析 【试题再现】根据已知条件证得∠BCE=∠CAD，由∠ADC=∠CEB=90°，于是得到△ADC∽△CEB．
    【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．由∠DEC=40°，得到∠DEA+∠CEB=140°；根据∠A=40°，得到∠ADE+∠AED=140°，于是得到∠ADE=∠CEB，推出△ADE∽△BEC，同时得到结论；
    【深入探究】（1）根据AD∥BC，得到∠ADC+∠BCD=180°，由于DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，于是得到∠CDP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）=90°，由于∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，有一定的△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
    （2）过点P作PE⊥DC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，得到DF=AB，推出△ADP≌△EDP，得到AD=DE，同理△CBP≌△CEP，得到BC=EC，于是得到DC=AD+BC=8．在Rt△CDF中，CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2，由勾股定理，得DF=$\sqrt{{8^2}-{2^2}}=2\sqrt{15}$，即可得到结论．

    解答 解答：【试题再现】
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠ACD+∠BCE=90°，
    ∵AD⊥DE，
    ∴∠ACD+∠CAD=90°，
    ∴∠BCE=∠CAD，
    ∵∠ADC=∠CEB=90°，
    ∴△ADC∽△CEB．

    【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
    理由如下：
    ∵∠DEC=40°，
    ∴∠DEA+∠CEB=140°；
    ∵∠A=40°，
    ∴∠ADE+∠AED=140°，
    ∴∠ADE=∠CEB，
    ∴△ADE∽△BEC，
    ∴E点是四边形ABCD的边AB上的相似点．

    【深入探究】
    （1）∵AD∥BC，
    ∴∠ADC+∠BCD=180°，
    ∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
    ∴∠CDP+∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）=90°，
    ∵DA⊥AB，
    ∴CB⊥AB，
    ∴∠DPC=∠A=∠B=90°，
    ∵∠ADP=∠CDP，
    ∴△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，
    ∴△ADP∽△PDC∽△BPC，即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点．
    （2）过点P作PE⊥DC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
    ∴DF=AB，
    在△ADP与△EDP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDP}\\{∠DAF=∠DEP=90°}\\{DP=DP}\end{array}\right.$
    ∴△ADP≌△EDP，
    ∴AD=DE，
    同理△CBP≌△CEP，
    ∴BC=EC，
    ∴DC=AD+BC=8．
    在Rt△CDF中，CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2，
    由勾股定理，得DF=$\sqrt{{8^2}-{2^2}}=2\sqrt{15}$，
    ∴AB=2$\sqrt{15}$．

    点评 本题考查了相似形综合题，主要利用了相似三角形对应边成比例，矩形的对边平行且相等的性质，读懂题目信息，理解四边形边上的相似点与强相似点的定义并根据图形确定出相似三角形，准确找出对应边是解题的关键．

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    3．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD、BE是△ABC的高，交于点H，BE的延长线交⊙O于F，下列结论：
    ①∠BAO=∠CAD；②AO=AH；③EH=EF；④DH=DC，
    其中正确的有（　　）个．
    A．1B．2C．3D．4

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    10．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，正方形的边长为4，EF⊥DE交BC于点F．
    （1）求证：△ADE∽△BEF；
    （2）AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值；
    （3）已知D、C、F、E四点在同一个圆上，连接CE、DF，若sin∠CEF=$\frac{3}{5}$，求此圆直径．

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    20．已知，P为函数y=$\frac{k}{|x|}$图象上的任意点．
    （1）如图1，若P点在第一象限．请分析函数y=$\frac{k}{|x|}$图象的对称性，并利用直尺和圆规在图1中作出P在图象上的对称点F（不写作法，保留作图痕迹）．
    （2）又若P1（a2+2，y1）、P2（a2，y2）、P3（-a2-1，y3）是函数y=$\frac{k}{|x|}$（k＞0）图象上的三点，请比较y1、y2、y3的大小，并说明理由．
    （3）使k=8，过点P分别作PC⊥x轴于C点，PK⊥y轴于K点，且PC交直线l：y=4x于点D，又使⊙P与y轴相切于点K，设⊙P的面积为S．试探究：
    ①如图2，连接KD、KC，若P在第一象限，试求出使△KPD与△KPC相似时S所有可能的取值？
    ②如图3，又若P不一定在第一象限．请写出⊙P 与直线l相切时，S的可能值．（不用写过程，直接写出结论）

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    7．已知，矩形ABCD中．AB=4cm，BC=8cm，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
    （1）如图1，连接AF、CE，试证明：四边形AFCE为菱形；
    （2）求AF的长；
    （3）如图2，动点P以每秒5cm的速度自A→F→B→A运动、同时点Q以每秒4cm的速度自C→D→E→C运动，当点P到达A点时两点同时停止运动．若运动t秒后，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

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    4．如图1，已知抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
    （1）求线段DE的长度；
    （2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；
    （3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．

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