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    4．如图1，已知抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
    （1）求线段DE的长度；
    （2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；
    （3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．

    分析 （1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；
    （2）找点C关于DE的对称点N（4，$\sqrt{3}$），找点C关于AE的对称点G（-2，-$\sqrt{3}$），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；直线AE的解析式：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），则Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，根据解析式即可求得，△MPF面积的最大值；
    （3）由（2）可知C（0，$\sqrt{3}$），F（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），求得CF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，CP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，进而得出△CFP为等边三角形，边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，翻折之后形成边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．

    解答 解：（1）对于抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
    令x=0，得y=$\sqrt{3}$，即C（0，$\sqrt{3}$），D（2，$\sqrt{3}$），
    ∴DH=$\sqrt{3}$，
    令y=0，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=0，得x1=-1，x2=3，
    ∴A（-1，0），B（3，0），
    ∵AE⊥AC，EH⊥AH，
    ∴△ACO∽△EAH，
    ∴$\frac{OC}{AH}$=$\frac{OA}{EH}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{EH}$，
    解得：EH=$\sqrt{3}$，
    则DE=2$\sqrt{3}$；
    （2）找点C关于DE的对称点N（4，$\sqrt{3}$），找点C关于AE的对称点G（-2，-$\sqrt{3}$），
    连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，
    直线GN的解析式：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；直线AE的解析式：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    联立得：F （0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
    过点M作y轴的平行线交FH于点Q，
    设点M（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），则Q（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（0＜m＜2）；
    ∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=$\frac{1}{2}$MQ×2=MQ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
    ∵对称轴为：直线m=$\frac{1}{2}$＜2，开口向下，
    ∴m=$\frac{1}{2}$时，△MPF面积有最大值：$\frac{17}{12}$$\sqrt{3}$；
    （3）由（2）可知C（0，$\sqrt{3}$），F（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
    ∴CF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，CP=$\sqrt{C{D}^{2}+D{P}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
    ∵OC=$\sqrt{3}$，OA=1，
    ∴∠OCA=30°，
    ∵FC=FG，
    ∴∠OCA=∠FGA=30°，
    ∴∠CFP=60°，
    ∴△CFP为等边三角形，边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
    翻折之后形成边长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，
    1）当K F′=KF″时，如图3，
    点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），
    ∴OK=3；  
    2）当F′F″=F′K时，如图4，
    ∴F′F″=F′K=4，
    ∵FP的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，
    ∵∠OAF=30°，
    ∴F′K=F′A
    ∴AK=4$\sqrt{3}$
    ∴OK=4$\sqrt{3}$-1或者4$\sqrt{3}$+1；
    3）当F″F′=F″K时，如图5，

    ∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，
    ∵∠OAF=30°，
    ∴∠AF′F″=90°，
    ∵F″F′=F″K=4，
    ∴AF″=8，
    ∴AK=12，
    ∴OK=11，
    综上所述：OK=3，4$\sqrt{3}$-1，4$\sqrt{3}$+1或者11．

    点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键．

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    15．如图①在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A．B重合），分别连接ED．EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
    【试题再现】如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：△ADC∽△CEB．
    【问题探究】在图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
    【深入探究】如图③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于点P，过点P作AB⊥AD于点A，交BC于点B．
    （1）请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点；
    （2）若AD=3，BC=5，试求AB的长；

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    12．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．

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    19．如图，直线AB：y=x-4分别与x、y交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OA=2OC
    （1）求直线BC的解析式；
    （2）若直线y=kx（k＜0）分别与直线AB、BC相交于点M、N，是否存在这样的直线MN，使得S△OBN=2S△OBM？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
    （3）若点E、F分别是直线BC、y轴上的点，其以点A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求E、F的坐标．

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    9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+2mx+n（m＜0、n＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=$\frac{1}{2}$AC，连接OA，OB，BD和AD．
    （1）若点A的坐标是（-2，1）
    ①求m，n的值；
    ②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
    （2）若四边形AOBD是平行四边形，求m与n的关系；
    （3）是否存在n，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出n的值；若不存在，请说明理由．

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