Question

12．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF=2CD．

Answer 1

分析 作BE的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE=BE=EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE=∠DBC=22.5°，从而可以得出∠BAE=∠BAE=∠ACD=22.5°，∠AEF=45°，由∠BAC=90°，∠BDC=90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD=DC，证△ADC≌△AEB推出BE=CD，从而得到结论．

解答 解：取BF的中点E，连接AE，AD，
∵∠BAC=90°，
∴AE=BE=EF，
∴∠ABD=∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAC=∠DBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DAC=∠BAE，
∴∠EAD=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD=∠DBC=22.5°，
∴∠AED=45°，
∴AE=AD，
在△ABE与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DAC}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD，
∴BF=2CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．