Question

3．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD、BE是△ABC的高，交于点H，BE的延长线交⊙O于F，下列结论：
①∠BAO=∠CAD；②AO=AH；③EH=EF；④DH=DC，
其中正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作OG⊥AB于G，连结OB、AF，如图，OG⊥AB，根据等腰三角形的性质得∠5=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠1+∠5=90°，BG=AG，再根据圆周角定理得∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，则∠5=∠C，由于∠2+∠C=90°，则∠1=∠2，则可对①进行判断；
要证明AO=AH，而∠1=∠2，则要证明Rt△AGO≌Rt△AEH，所以要证明AG=AE，即证明AE=$\frac{1}{2}$AG，而∠ABE不能确定为30°，所以不能证明AE=$\frac{1}{2}$AB，于是可对②进行判断；利用等角的余角相等得∠2=∠4，再利用圆周角定理得到∠4=∠3，则∠2=∠3，加上AE⊥HF，根据等腰三角形的判定方法得到△AHF为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质对③进行判断；要证明DH=DC，由于∠2=∠4，则要证明Rt△ADC≌Rt△BDH，
所以呀哦证明BD=AD，由于不能确定∠ABD=45°，不能确定BD=AD，于是可对④进行判断．

解答 解：作OG⊥AB于G，连结OB、AF，如图，
∵OG⊥AB，
∴∠5=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠1+∠5=90°，BG=AG，
∵∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠5=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，所以①正确；
∵BE⊥AC，
而∠ABE不能确定为30°，
∴AB≠2AE，
而AB=2AG，
∴AG≠AE，
而∠1=∠2，
∴不能判断Rt△AGO和Rt△AEH全等，
∴不能确定AO=AH，所以②错误；
∵∠2+∠C=90°，∠4+∠C=90°，
∴∠2=∠4，
而∠4=∠3，
∴∠2=∠3，
∵AE⊥HF，
∴△AHF为等腰三角形，
∴HE=EF，所以③正确；
由于不能确定∠ABD=45°，
∴不能确定BD=AD
∵∠2=∠4，
∴不能判断Rt△ADC和Rt△BDH全等，
∴不能确定DH=CD，所以④错误．
故选B．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰三角形的判定与性质；灵活运用三角形全等的判定与性质；合理作辅助线是解题的关键．