Question

在△ABC中，∠B=30°，P为AB上的一点，

BP

AP

=

1

2

，PQ⊥BC于点Q，连接AQ，求cos∠AQC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：过A作AD⊥BC于点D，根据平行线分线段成比例可得到AD与PQ的关系，根据含特殊角的直角三角形的性质可得到PQ和AQ的关系，在Rt△ADQ中可求得答案．

解答：解：
过A作AD⊥BC于点D，
∵PQ⊥BC，
∴AD∥PQ，
∴

BQ

QD

=

BP

AP

=

1

2

，

PQ

AD

=

BP

AB

=

BP

AP+PB

=

1

3

，
∴QD=2BQ，AD=3PQ，
在Rt△PBQ中，∠B=30°，
∴BQ=

3

PQ，
∴QD=2

3

PQ，
在Rt△ADQ中，由勾股定理可得AQ=

21

PQ，
∴cos∠AQC=

QD

AQ

=

2 3

21

=

2 7

7

．

点评：本题主要考查平行线分线段性质及三角函数的定义，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．