Question

如图，已知P是⊙O外一点，从P引两条射线，分别与⊙O交于A、B及C，且PC²=PA•PB，求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：连接OA，OC，AC，根据PC²=PA•PB和∠P=∠P，可证明△PCA∽△PBC，则∠PCA=∠PBC，再由已知条件即可得出PC⊥OC，则PC是⊙O的切线．

解答：证明：连接OA，OC，AC，
∵PC²=PA•PB，∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
设∠PCA=∠PBC=x°，
∴∠AOC=2x°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=OCA=

180°-2x°

2

=90°-x°，
∴∠PCO=∠PCA+∠OCA=90°-x°+x°=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定，以及三角形的内角和定理、相似三角形的判定，是一道综合性的题目，是中考压轴题，难度中等．