Question

如图，在△ABC外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，使得∠BAD=90°，∠CAE=90°，AH⊥BC，垂足为H，AH的反向延长线交DE于M，求证：DM=EM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：在BC上截取BF=AM，易证△ABF≌△ADM，可得DM=AF和∠DMA=∠BFA，即可求证△ACF≌△AEM，可得ME=AF，即可解题．

解答：证明：在BC上截取BF=AM，

∵∠BAD=∠CAE=∠AHB=∠AHC=90°，
∴∠BAH+∠ABC=∠BAH+∠DAM=∠CAH+∠BCA=∠CAH+∠EAM=90°，
∴∠CBA=∠DAM，∠BCA=∠EAM，
在△ABF和△ADM中，

AB=AD ∠CBA=∠DAM AM=BF

，
∴△ABF≌△ADM，（SAS）
∴DM=AF，∠DMA=∠BFA，
∴∠EMA=∠CFA，
在△ACF和△AEM中，

∠EMA=∠CFA ∠BCA=∠EAM AC=AE

，
∴△ACF≌△AEM（AAS），
∴GE=AF=GD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABF≌△ADM和△ACF≌△AEM是解题的关键．