Question

如图，在平面直角坐标系中，A（16，0）、C（0，8），四边形OABC是矩形，D、E分别是OA、B才边上的点，沿着DE折叠矩形，点A恰好落在y轴上的点C处，点B落在点B′处．
（1）求D、E两点的坐标；
（2）点F是矩形的AB边上的点，且EF=3

5

，点G在平面直角坐标系中，以点D、E、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求G点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设OD=m，则CD=DA=16-m，在Rt△COD中，由勾股定理可得m=6，即可得D的坐标，再根据矩形的性质，可得CE=CD=10，可得E的坐标；
（2）过B′作B′M⊥BC于M，易得B′M与CM的长，进而可得反比例函数解析式，易求点F的坐标；根据题意，分三种情况讨论，可得在平面直角坐标系中存在G₁、G₂、G₃的坐标，进而可得答案．

解答：解：（1）∵A（16，0）、C（0，8），
∴OA=16，OC=8，
设OD=m，则CD=DA=16-m．
在Rt△COD中，∠COD=90°．
∵CD²=OC²+OD²，
∴（16-m）²=8²+m²，
解得m=6，
∴D（6，0）．
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥CB，
∴∠CED=∠EDA，
∵∠EDA=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=10，
∴E（10，8）；

（2）设过点E、F的双曲线解析式为：y=

k

x

（k≠0）．
如图1，过B′作B′M⊥BC于M
∵B′C=AB=8，B′E=BE=6，∠CB′E=90°
∴B′M=

CB×B′E

CE

=

8×6

10

=4.8
CM=

B′C2-B′M2

=6.4，B′（6.4，12.8）
∵k=10×8=80，
∴y=

80

x

．
故设F（x，

80

x

）．
∵EF=3

5

，E（10，8），
∴（10-x）²+（8-

80

x

）²=45．
解得 x=16，则y=5，
∴F（16，5），有三种情况如图2：
①把线段DE先向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位，端点E落在G₁处，G₁（20，13）；
②把线段EF先向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位，端点F落在G₂处，G₂（12，-3）；
③把线段DF先向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位，端点D落在G₃处，G₃（0，3）．
综上所述，在平面直角坐标系中存在G₁（20，13）、G₂（12，-3）、G₃（0，3）使得以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．