Question

已知抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．将直线BC向下平移，与抛物线交于点B′，C′（B′与B对应，C′与C对应），与y轴交于点D，当点D是线段B′C′的三等分点时，则D的坐标是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：作出图形，过点B'作B'E⊥y轴于点E，过点C'作C'E⊥y轴于点F，设点B'坐标（x₁，y₁ ），C'（x₂，y₂ ），设点D的坐标为（0，a），易求得直线BC解析式，根据平移即可求得直线B'C'的解析式，根据直线B'C'与抛物线交于点B′，C′可得x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，易证△B'DE∽△C'DF，可得

C′F

B′E

=

C′D

B′D

，根据点D是线段B′C′的三等分点分类讨论①C'D：B'D=1：2，②C'D：B'D=2：1，即可解题．

解答：解：作出图形，过点B'作B'E⊥y轴于点E，过点C'作C'E⊥y轴于点F，设点B'坐标（x₁，y₁ ），C'（x₂，y₂ ），

设点D的坐标为（0，a），直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B，C代入直线BC解析式得：

0=k+b 3=b

，
∴k=-3，b=3，
∴直线BC解析式为y=-3x+3，
∵直线B'C'是直线BC向下平移而来，
∴BC向下平移单位是（3-a）个，
∴直线B'C'解析式为y=-3x+3-（3-a）=-3x+a，
把y=-3x+a与y=-x²-2x+3联立得：-3x+a=-x²-2x+3，
整理得：x²-x+a-3=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，
∵点D是线段B′C′的三等分点，
∴C'D：B'D=1：2或C'D：B'D=2：1，
∵C'F=-x₂ （x₂＜0），B'E=x₁ （x₁＞0），
∵∠C'DF=∠B'DE，∠C'FD=∠B'ED=90°，
∴△B'DE∽△C'DF，
∴

C′F

B′E

=

C′D

B′D

，
①当C'D：B'D=1：2时，-x₂：x₁=1：2，
∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，
∴x₁=2，x₂=-1，a=1，
②C'D：B'D=2：1时，-x₂：x₁=2：1，
∵x₁+x₂=1，x₁•x₂=a-3，
∴x₁=-1，x₂=2，a=1，（不符合题意，舍去）
∴点D坐标为（0，1）．

点评：本题考查了抛物线与x轴交点的求解，考查了韦达定理的运用，考查了直线和抛物线交点的求解，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△B'DE∽△C'DF是解题的关键．