Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.

(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；

(2)①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？

②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析: （1）证△CFG≌△EDG,推出FG=EG,根据平行四边形的判定推出即可,（2）①求出△MBA≌△EDC,推出∠CED=∠AMB=90°,根据矩形的判定推出即可,②求出△CDE是等边三角形,推出CE=DE,根据菱形的判定推出即可.

试题解析:（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥ED,∴∠FCG=∠EDG,∵G是CD的中点,∴CG=DG,在△FCG和△EDG中,

,

∴△FCG≌△EDG（ASA）,

∴FG=EG,

∵CG=DG,

∴四边形CEDF是平行四边形,

（2）① 当AE=3.5时,平行四边形CEDF是矩形,理由是:过A作AM⊥BC于M,

∵∠B=60°,AB=3,∴BM=1.5,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=3,BC=AD=5,

∵AE=3.5,

∴DE=1.5=BM,

在△MBA和△EDC中,

,

∴△MBA≌△EDC（SAS）,

∴∠CED=∠AMB=90°,

∵四边形CEDF是平行四边形,

∴四边形CEDF是矩形,故答案为:3.5,

②当AE=2时,四边形CEDF是菱形,理由是:

∵AD=5,AE=2,

∴DE=3,

∵CD=3,∠CDE=60°,

∴△CDE是等边三角形,

∴CE=DE,

∵四边形CEDF是平行四边形,

∴四边形CEDF是菱形,故答案为:2.