【题目】定义:对于给定的二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0),其伴生一次函数为y=a(x﹣h)+k,例如:二次函数y=2(x+1)2﹣3的伴生一次函数为y=2(x+1)﹣3,即y=2x﹣1.
(1)已知二次函数y=(x﹣1)2﹣4,则其伴生一次函数的表达式为_____;
(2)试说明二次函数y=(x﹣1)2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上;
(3)如图,二次函数y=m(x﹣1)2﹣4m(m≠0)的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A,且两函数图象的交点的横坐标分别为1和2,在∠AOB内部的二次函数y=m(x﹣1)2﹣4m的图象上有一动点P,过点P作x轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q,设点P的横坐标为n,直接写出线段PQ的长为时n的值.
【答案】y=x﹣5
【解析】分析:(1)根据定义,直接变形得到伴生一次函数的解析式;
(2)求出顶点,代入伴生函数解析式即可求解;
(3)根据题意得到伴生函数解析式,根据P点的坐标,坐标表示出纵坐标,然后通过PQ与x轴的平行关系,求得Q点的坐标,由PQ的长列方程求解即可.
详解:(1)∵二次函数y=(x﹣1)2﹣4,
∴其伴生一次函数的表达式为y=(x﹣1)﹣4=x﹣5,
故答案为y=x﹣5;
(2)∵二次函数y=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点坐标为(1,﹣4),
∵二次函数y=(x﹣1)2﹣4,
∴其伴生一次函数的表达式为y=x﹣5,
∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,
∴(1,﹣4)在直线y=x﹣5上,
即:二次函数y=(x﹣1)2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上;
(3)∵二次函数y=m(x﹣1)2﹣4m,
∴其伴生一次函数为y=m(x﹣1)﹣4m=mx﹣5m,
∵P点的横坐标为n,(n>2),
∴P的纵坐标为m(n﹣1)2﹣4m,
即:P(n,m(n﹣1)2﹣4m),
∵PQ∥x轴,
∴Q((n﹣1)2+1,m(n﹣1)2﹣4m),
∴PQ=(n﹣1)2+1﹣n,
∵线段PQ的长为,
∴(n﹣1)2+1﹣n=,
∴n=.
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【题目】随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,A,B两地被大山阻隔,由A地到B地需要绕行C地,若打通穿山隧道,建成A,B两地的直达高铁,可以缩短从A地到B地的路程.已知:∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=640公里,求隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短多少公里?(参考数据:≈1.7,≈1.4)
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【题目】在等边三角形ABC中,点D是BC的中点,点E、F分别是边AB、AC(含线段AB、AC的端点)上的动点,且∠EDF=120°,小明和小慧对这个图形展开如下研究:
问题初探:
(1)如图1,小明发现:当∠DEB=90°时,BE+CF=nAB,则n的值为______;
问题再探:
(2)如图2,在点E、F的运动过程中,小慧发现两个有趣的结论:
①DE始终等于DF;②BE与CF的和始终不变;请你选择其中一个结论加以证明.
成果运用
(3)若边长AB=4,在点E、F的运动过程中,记四边形DEAF的周长为L,L=DE+EA+AF+FD,则周长L的变化范围是______.
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【题目】将进货单价40元的商品按50元出售,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,就会少销售10个。为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个.
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【题目】如图,在自动向西的公路l上有一检查站A,在观测点B的南偏西53°方向,检查站一工作人员家住在与观测点B的距离为7km,位于点B南偏西76°方向的点C处,求工作人员家到检查站的距离AC.(参考数据:sin76°≈,cos76°≈,tan 76°≈4,sin53°≈,tan53°≈)
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【题目】在中,是角平分线,.
(1)如图1,是高,,,则 (直接写出结论,不需写解题过程);
(2)如图2,点在上,于,试探究与、之间的数量关系,写出你的探究结论并证明;
(3)如图3,点在的延长线上,于,则与、之间的数量关系是 (直接写出结论,不需证明).
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【题目】在连接A、B两市的公路之间有一个机场C,机场大巴由A市驶向机场C,货车由B市驶向A市,两车同时出发匀速行驶,图中线段、折线分别表示机场大巴、货车到机场C的路程y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系图象.
(1)直接写出连接A、B两市公路的路程以及货车由B市到达A市所需时间.
(2)求机场大巴到机场C的路程y(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式.
(3)求机场大巴与货车相遇地到机场C的路程.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=15cm,BC=12cm,点D是线段AC的中点,动点P从A﹣D﹣B﹣C向终点C出发,速度为5cm/s,当点P不与点A、B重合时,作PE⊥AB交线段AB于点E,设点P的运动时间为t(s),△APE的面积为S(cm2).
(1)写出线段AB的长;
(2)当点P在线段BD上时,求PE的长(用含t的式子表示);
(3)当点P沿A﹣D﹣B运动时,用含t的代数式表示S;
(4)点E关于直线AP的对称点为E′,当点E′落在△ABC的内部时,直接写出t的取值范围.
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【题目】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程.
解:设,
原式(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_____________.
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底__________(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_____________.
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