Question

【题目】在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF=120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：

问题初探：

（1）如图1，小明发现：当∠DEB=90°时，BE+CF=nAB，则n的值为______；

问题再探：

（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：

①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．

成果运用

（3）若边长AB=4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L=DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是______．

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE与CF的和始终不变，见解析；（3）

【解析】

（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=AB，进而判断出BE=BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出结论；

（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论；

②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论；

（3）由（1）（2）判断出L=2DE+6，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=BC，

∵点D是BC的中点，

∴BD=CD=BC=AB，

∵∠DEB=90°，

∴∠BDE=90°-∠B=30°，

在Rt△BDE中，BE=BD，

∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，

∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°，

∵∠C=60°，

∴∠DFC=90°，

在Rt△CFD中，CF=CD，

∴BE+CF=BD+CD=BC=AB，

∵BE+CF=nAB，

∴n=，

故答案为；

（2）如图2

①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，

∴∠DGB=∠AGD=∠CFD=∠AHF=90°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，

∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠EDG=∠FDH，

∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DG⊥AB，DH⊥AC，

∴DG=DH，

在△EDG和△FDH中，，

∴△EDG≌△FDH（ASA），

∴DE=DF，

即：DE始终等于DF；

②同（1）的方法得，BG+CH=AB，

由①知，△EDG≌△FDH（ASA），

∴EG=FH，

∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，

∴BE与CF的和始终不变

（3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB，

∵AB=4，

∴BE+CF=2，

∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD

=DE+AB-BE+AC-CF+DF

=DE+AB-BE+AB+DE

=2DE+2AB-（BE+CF）

=2DE+2×4-2

=2DE+6，

∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，

当DE⊥AB时，DE最小，

由（1）知，BG=BD=1，

∴DE最小=BG=，

∴L最小=2+6，

当点F和点C重合时，DE最大，此时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°，

∵∠B=60°，

∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴DE=BD=AB=2，

即：L最大=2×2+6=10，

∴周长L的变化范围是2≤L≤10，

故答案为2≤L≤10．