Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF＝BE+CF；

②∠BOC＝90°+∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．

其中正确的结论是（　　）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF，故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④错误．

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，

∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，

∴BE＝OE，CF＝OF，

∴EF＝OE+OF＝BE+CF，

故①正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON＝OD＝OM＝m，

∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AEOM+AFOD＝OD（AE+AF）＝mn；故④错误；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．

故选：A．