Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°．再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF．已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）用含t的代数式表示出NC与NF；

（2）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）求y与t的函数关系式及相应t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）CN=t，NF=；（2）在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；（3）y=﹣t2+2t（0＜t≤2）；y=（8﹣t）2（2＜t≤4）；．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可知：CN=CM=t，利用平行线分线段成比例定理

可得： ，由此即可求出NF；

（2）由已知得出CN=CM=t，FN∥BC，由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，

MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出，得出方程，解方程

即可；

（3）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出

②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：GH=NH，GH=2FH，得出

由三角形面积得出

解：（1）∵∠C=90°，∠NMC=45°，

∴CN=CM=t，

∵AC=8，

∴AN=8﹣t，

∵NF∥BC，

∴

∴

∴

（2）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：

连接ME交NF于O，如图1所示：

由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，

∵四边形MNEF是正方形，

∴

∴

解得：

即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；

（2）分两种情况：

①当0＜t≤2时，

即

②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，

由（1）得： GH=NH，GH=2FH，

∴

∴

即