Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15cm，BC＝12cm，点D是线段AC的中点，动点P从A﹣D﹣B﹣C向终点C出发，速度为5cm/s，当点P不与点A、B重合时，作PE⊥AB交线段AB于点E，设点P的运动时间为t（s），△APE的面积为S（cm2）．

（1）写出线段AB的长；

（2）当点P在线段BD上时，求PE的长（用含t的式子表示）；

（3）当点P沿A﹣D﹣B运动时，用含t的代数式表示S；

（4）点E关于直线AP的对称点为E′，当点E′落在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）12﹣4t；（3）S＝；（4）＜t＜3或3＜t＜3.9

【解析】

（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可解决问题．

（2）只要证明△PBE∽△CAB，可得，由此即可解决问题．

（3）分两种情形讨论①当0＜t≤3时．②当3＜t＜6时，根据三角形的面积公式求出AE、PE即可解决问题．

（4）求出两个特殊点的时间①如图1中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．如图2中，当点P在BC上，点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．即可解决问题．

（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15cm，BC＝12cm，

∴AB＝，

即AB的长为9；

（2）∵PE⊥AB，BC⊥AB，

∴PE∥BC，∠ABC＝∠BEP＝90°，

∴∠EPB＝∠PBC，

∵点D为AC中点，

∴BD＝CD＝AC，

∴∠DBC＝∠DCB，

∴∠EPB＝∠DCB，

∴△PBE∽△CAB，

∴

∴，

∵BP＝15﹣5t，

∴PE＝12﹣4t．

（3）当0＜t≤3时

AE＝5t×＝3t，PE＝5t×＝4t，

S＝PEAE＝4t3t＝6t2，

∴S＝6t2．

当3＜t＜6时，

AE＝9﹣（15﹣5t）×＝3t，PE＝（15﹣5t）×＝12﹣4t，

S＝PEAE＝3t（12﹣4t）＝﹣6t2+18t．

∴S＝﹣6t2+18t，

综上所述，S＝．

（4）如图1中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．作PE′⊥AC于E′，则PE＝PE′

∵，

∴ ，

∴，

∴PD＝，

∴点P运动的时间＝（）÷5＝s，

观察图象可知当＜t＜3时，当点E′落在△ABC的内部．

如图2中，当点P在BC上，点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．

同理可得，

∴，

∴PB＝4.5，

∴∴点P运动的时间＝（+4.5）÷5＝3.9s

观察图象可知当3＜t＜3.9时，当点E′落在△ABC的内部．

综上所述，当＜t＜3或3＜t＜3.9时，当点E′落在△ABC的内部．